Po co Ci matematyka?

Matematyka uchodzi za jedną z trudniejszych dziedzin wiedzy. Do tego w dzisiejszych czasach młodzi adepci inżynierii mogą tworzyć widowiskowe projekty bez praktycznie żadnej znajomości elementów wyższej matematyki. Można dojść do wniosku, że nauka i znajomość matematyki jest zbędna. W najlepszych wypadku wystarczy ograniczyć się do pobieżnego zapoznania z niektórymi zagadnieniami. Osobiście uważam, że jest to podejście bardzo niebezpieczne i ograniczające możliwości dalszego rozwoju. Osobiście jestem wielkim entuzjastą matematyki. Mimo to spróbuję w miarę obiektywnie opisać, które jej elementy należy uznać za przydatne, a które nie oraz uzasadnić dlaczego warto poświęcić czas na rozwój swoich umiejętności matematycznych. 

Trzy oblicza matematyki

Jak każdy człowiek uczę się matematyki od dziecka. Dodatkowo minęło już ponad 15 lat od kiedy mam styczność z czymś co można nazwać „wyższą matematyką” i prawie 10 od kiedy używam jej w pracy zawodowej. Przez te wszystkie lata zauważyłem, że korzyści płynące dla inżynierów z nauki matematyki można podzielić na trzy grupy. Omówmy je teraz krótko w kolejności od najmniej do najbardziej istotnych:

Umiejętności rachunkowe

Pierwsze czego uczymy się poznając zasady matematyki to proste operacje arytmetyczne. Wiele lat poświęcamy na to, żeby nabrać umiejętności rachunkowych na pewnym poziomie. Każdy uczeń pamięta „wkuwanie” tabliczki mnożenia, a każdy student politechniki naukę obliczania całek nieoznaczonych.

Zdobycie biegłości w arytmetyce czy przekształcaniu wyrażeń algebraicznych jest ważna, żeby nie tracić za dużo czasu na rozwiązywania banalnych problemów obliczeniowych. Wyrabia też pewną intuicję pomagającą szybko ustalić np. czy wymagania jakiegoś projektu są realistyczne. Na dłuższą metę, w dobie komputerów, obliczeń numerycznych i powszechnego dostępu do Internetu ich znaczenie jest dość ograniczone.

W gruncie rzeczy zaryzykowałbym stwierdzenie (nieco na wyrost), że inżynier nie uczy się matematyki, żeby umieć coś policzyć.

Nauka logicznego myślenia

Matematyka bezsprzecznie wyrabia umiejętności logicznego myślenia. Zwłaszcza jeżeli uczymy się jej rozwiązując różnego rodzaju problemowe zadania (co do powtarzania w kółko bardzo podobnych zadań egzaminacyjnych w celu zdania matury miałbym pewne wątpliwości).

Jeżeli chcesz rozwijać swojej umiejętności umysłowe, a przy tym dobrze się bawić to polecam naukę matematyki. Uważam nawet, że warto rozważyć czy popularnej ostatnio nauki programowania dla małych dzieci (poniżej 10 lat) nie należy zastąpić ćwiczeniem rozwiązywania problemów matematycznych.

Nauka logicznego myślenia również nie jest głównym powodem, dla którego inżynierowie powinni dobrze znać matematykę.

Matematyka to język
W moim odczucie głównym powodem, dla którego inżynierowie powinni poznawać matematykę to ten, że jest ona językiem, który pozwala w precyzyjny sposób opisać prawa fizyki, działanie systemów technicznych oraz pomysły innych inżynierów. Jako przykład posłużę się tematem z dziedziny elektrotechniki. Bez odwoływania się do jakiejkolwiek matematyki możemy wytłumaczyć komuś, że kondensator jest elementem elektronicznym, który nie przewodzi prądu stałego i przewodzi prąd zmienny. Spróbujmy jednak przekuć to na jakikolwiek konkrety: Jakiej wielkości kondensator dobrać, żeby stłumić fluktuacje napięcia zasilania? Jak taki kondensator zachowa się w połączeniu z rezystorami albo cewkami indukcyjnymi? Dlaczego w obwodach z kilkoma kondensatorami obserwujemy drgania (elektryczne)? Na czym polega efekt Millera we wzmacniaczach? Powodzenia z tłumaczeniem tych zagadnień bez odwoływania się do algebry czy równań różniczkowych. Odpowiedniego aparatu matemtycznego potrzebujemy też w automatyce i robotyce, żeby zrozumieć dlaczego układ sterowany w określony sposób może zachować się niestabilnie. Z kolei wyjaśnienie jak działają wpółczesne algorytmy sztucznej inteligencji czy analizy danych wymaga odwoływania się do rachunku różniczkowego, statystyki i rachunku prawdopodobieństwa. Nie chodzi o to, żeby ręcznie wykonywać skomplikowane obliczenia czy rozważać zawiłe problemy matematyczne. Chodzi o to, że projektując systemy techniczne i ucząc innych jak to robić potrzebujemy odpowiednich metod opisu. I metody te muszą być szalenie precyzyjne. Właśnie takie metody zapewnia nam matematyka. Bez jej opanowania nie będziesz w stanie zrozumieć jak tak naprawdę funkcjonuje przyroda i systemy techniczne. Powiedziałbym, że: bez opanowania odpowiedniego aparatu matematycznego ryzykujesz, że Twoja praca inżynierska ograniczy się do kopiowania i wdrażania pomysłów innych ludzi.

Co każdy inżynier wiedzieć powinien?

Przechodząc do konkretów, przygotowałem listę dzisięciu tematów, które były przydatne w mojej dotychczasowej pracy podając przy tym konkretne zastosowania. Tematy te są podane w kolejności w jakiej moim zdaniem należy je poznawać:

  1. Granice ciągów i funkcji – potrzebne przede wszystkim po to, żeby opanować rachunek różniczkowy. Granice ciągów same w sobie przydają się w analizie algorytmów i kilku drobnych problemach. Nawiasem mówiąc omawiam niektóre z nich w kursie InterTech Academy „Matematyka dla inżynierów”.
  2. Rachunek różniczkowy – temat absolutnie kluczowy. Bez jego znajomości nie da się w pełni zrozumieć prawie żadnego prawa fizyki. Do tego znajduje zastosowanie w rozwiązywaniu równań nieliniowych i optymalizacji, co jest np. podstawą uczenia współczesnych systemów sztucznej inteligencji. Przydaje się też w analizie dokładności pomiarów. Niestety w szkołach bardzo wiele czasu poświęca się na tzw. „badanie przebiegu funkcji”, co nie jest zbyt praktycznym problemem.
  3. Rachunek całkowy – powiedziałbym, że jest to pewne rozszerzenie rachunku różniczkowego. Należy go poznać przede wszystkim ze względu na opis zjawisk fizycznych. Uważam, że programy politechnik są nim przeładowane. Wiele skomplikowanych całek, które się tam rozwiązuje w ogóle nie pojawia się w praktycznych problemach.
  4. Liczby zespolone – temat konieczny ze względu na zastosowanie w opisie praktycznie wszystkich zjawisk fizycznych związanych drganiami i falami. Szczególnie istotny dla osób zajmujących się automatyką, robotyką, elektroniką czy elektrotechniką. Bez liczb zespolonych opis np. obwodów prądu przemiennego czy zachowania układów dynamicznych praktycznie nie istnieje.
  5. Rachunek macierzowy – w moim odczuciu chyba najbardziej praktyczna część matematyki. Ułatwia zapis wielu zagadnień, a do tego jest podstawą praktycznie wszystkich metod numerycznych. Na rachunku macierzowym bazują takie dziedziny jak: teoria sterowania, sztuczna inteligencja, przetwarzanie sygnałów i obrazów czy grafika komputerowa.
  6. Algebra liniowa – właściwie to rachunek macierzowy jest jej częścią. Uwzględniam ją osobno bo wiedza wielu osób ogranicza się do podstawowych zagadnień związanych z macierzami. Tymczasem do dobrego zrozumienia wielu metod przetwarzania sygnałów i obrazów czy uczenia maszynowego należy poznać takie zagadnienia jak: przestrzenie wektorowe, wektory i wartości własne czy rozkład SVD macierzy.
  7. Geometria analityczna – szczególnie istotny jest tutaj opis transformacji geometrycznych w przestrzeniach dwu- i trójwymiarowych. Problemy te pojawiają się przy problemach lokalizacji, widzenia maszynowego i sterowania robotami.
  8. Równania różniczkowe – potrzebne dla dobrego zrozumienia praktycznie każdego działu fizyki.
  9. Analiza wektorowa – dział niezbędny osobom związanym z elektrotechniką i elektroniką ze względu na kluczową rolę w opisie zjawisk elektrodynamicznych. Innego obszary zastosowań to analiza naprężeń i odkształceń w obiektach mechanicznych czy hydrodynamika. W pozostałych przypadkach  zastosowanie analizy wektorowej jest raczej pomijalne.
  10. Rachunek prawdopodobieństwa – bez jego znajomości trudno zrozumień wiele algorytmów analizy danych, wnioskowania czy przetwarzania sygnałów.

Podsumowanie

Nauka matematyki na poziomie inżynierskim to zadania na kilka lat. Lista zagadnień, które przedstawiłem powyżej pokrywa się w dużej mierze z tym co jest wykładane na uczelniach technicznych. Jeżeli ktoś przykłada się do nauki to po zakończeniu studiów będzie posiadał większość odpowiedniej wiedzy. Moje doświadczenie pokazuje, że wiele tematów trzeba jednak opanować samodzielnie. Wynika to w dużej mierze z tego, że za naukę matematyki odpowiadają zwykle nie inżynierowie, ale matematycy, którzy mają do niej nieco inne podejście. 

Pewnym problemem jest brak materiałów, w których matematyka jest pokazywana z punktu widzenia konkretnych zastosowań. Jednym z nielicznych podręczników nastawionych na praktykę jest np. „Matematyka dla przyrodników i inżynierów” Donalda McQuarrie, którą z czystym sumieniem polecam.

Chcemy nadrobić ten brak przygotowując kolejne kursy z serii „Matematyka dla inżynierów” w InterTech Academy. W międzyczasie powinien też pojawić się też bardziej szczegółowy „przewodnik po matematyce” pokazujący nie tylko jakich konkretnie zagadnień warto się uczyć pod kątem danych zastosowań, ale także skąd czerpać niezbędne informacje.

Maciej Kraszewski

Maciej Kraszewski

Inżynier, menedżer R&D i nauczyciel akademicki. Uwielbiam zajmować się tworzeniem nowych technologii, zdobywaniem nowej wiedzy i dzieleniem się swoim doświadczeniem z innymi. Specjalizuję się w zagadnieniach przetwarzania obrazu i widzenia maszynowego.
Szukasz dobrych materiałów o projektowaniu elektroniki?

Załóż darmowe konto na naszej platformie i odbierz pakiet materiałów edukacyjnych.

Zakładając konto zgadzasz się na przesyłanie Ci treści marketingowych przez IT20 sp. z o.o. zgodnie z dostępną na stronie Polityką Prywatności. Możesz wycofać zgodę w każdej chwili.

2 komentarze do “Po co Ci matematyka?

  • 14 lipca 2020 o 08:29
    Permalink

    Dzień dobry, kiedy można się spodziewać tego przewodnika po matematyce? Bardzo mnie zaciekawił 🙂

    Odpowiedz
    • 27 lipca 2020 o 21:53
      Permalink

      Witam,
      Przepraszam za to opóźnienie. Akurat byłem na urlopie wliczając w to urlop od bloga. Właśnie pracujemy nad programem nauki matematyki dla inżynierów obejmującym kursy e-learningowe i materiały dodatkowe właśnie jak wspomniany poradnik. Kursy powinny być gotowe na początku października. Mamy nadzieję, że poradnik pojawi się mniej chwilę wcześniej.

      Odpowiedz

Dodaj komentarz

Twój adres e-mail nie zostanie opublikowany. Wymagane pola są oznaczone *

Szukasz dobrych materiałów o projektowaniu elektroniki?

Załóż darmowe konto na naszej platformie i odbierz pakiet materiałów edukacyjnych.

Zakładając konto zgadzasz się na przesyłanie Ci treści marketingowych przez IT20 sp. z o.o. zgodnie z dostępną na stronie Polityką Prywatności. Możesz wycofać zgodę w każdej chwili.

Zapisz się na listę mailową i odbierz swoje bonusy!

Więcej treści na temat elektroniki i robotyki, darmowe e-booki i dostęp do minikursów on-line. Otrzymasz to wszystko zapisując się na naszą listę mailową.